Prawa Kirchhoffa

W praktyce mamy do czynienia z bardzo złożonymi obwodami elektrycznymi zawierającymi rozgałęzienia i dużą liczbę źródeł SEM. Wówczas przy znajdowaniu prądów i napięć posługujemy się prawami Kirchhoffa.

Prawo 1: Pierwsze prawo Kirchhoffa

Twierdzenie o punkcie rozgałęzienia. Algebraiczna suma natężeń prądów przepływających przez punkt rozgałęzienia (węzeł) jest równa zeru.

(1)

\( {\overset{{n}}{\underset{{i=1}}{\sum }}{I_{{i}}}=0} \)

Prawo 2: Drugie prawo Kirchhoffa

Twierdzenie o obwodzie zamkniętym. Algebraiczna suma sił elektromotorycznych i przyrostów napięć w dowolnym obwodzie zamkniętym jest równa zeru (spadek napięcia jest przyrostem ujemnym napięcia).

(2)

\( {\overset{{n}}{\underset{{i=1}}{\sum }}{\epsilon_{{i}}}+\overset{{m}}{\underset{{i=1}}{\sum }}{I_{{i}}R_{{i}}}=0} \)

Twierdzenie o obwodzie zamkniętym jest wynikiem zasady zachowania energii, a twierdzenie o punkcie rozgałęzienia wynika z zasady zachowania ładunku.

Przy stosowaniu praw Kirchhoffa zakładamy jakiś kierunek prądu i jego natężenie w każdej gałęzi. Spadek napięcia pojawia się gdy "przechodzimy" przez opornik w kierunku zgodnym z przyjętym kierunkiem prądu, a przyrost napięcia gdy przechodzimy przez źródło SEM w kierunku od "-" do "+". Jeżeli w wyniku obliczeń otrzymamy ujemne natężenie prądu to znaczy, że rzeczywisty kierunek prądu jest przeciwny do przyjętego.

Przykład 1: Dzielnik napięcia

Stosując tę metodę rozważymy, jako przykład, dzielnik napięcia pokazany na Rys. 1. Opory wewnętrzne źródeł SEM pomijamy.

Rysunek 1: Dzielnik napięcia

Zastosowanie 2. prawa Kirchhoffa do zewnętrznej "dużej" pętli daje

(3)

\( {\epsilon _{{2}}-I_{{2}}R_{{2}}-I_{{3}}R_{{1}}=0} \)

a dla wewnętrznej "małej" pętli

(4)

\( {\epsilon _{{1}}-I_{{3}}R_{{1}}=0} \)

skąd wprost otrzymujemy natężenie prądu \( I_{3} \)

(5)

\( {I_{{3}}=\frac{\epsilon _{{1}}}{R_{{1}}}} \)

Teraz odejmujemy stronami równań ( 3 ) i ( 4 )

(6)

\( {\epsilon _{{2}}-\epsilon _{{1}}-I_{{2}}R_{{2}}=0} \)

i obliczamy natężenie prądu \( I_{2} \)

(7)

\( {I_{{2}}=\frac{\epsilon _{{2}}-\epsilon _{{1}}}{R_{{2}}}} \)

Dla węzła P stosujemy 1. prawo Kirchhoffa

(8)

\( {I_{{1}}+I_{{2}}-I_{{3}}=0} \)

gdzie znak "+" oznacza prądy wpływające do węzła, a znak "-" prądy wypływające. Stąd wyliczamy prąd \( I_{1} \)

(9)

\( {I_{{1}}=I_{{3}}-I_{{2}}=\frac{\epsilon_{{1}}}{R_{{1}}}-\frac{\epsilon _{{2}}-\epsilon_{{1}}}{R_{{2}}}=\epsilon_{{1}}\left(\frac{1}{R_{{1}}}+\frac{1}{R_{{2}}}\right)-\frac{\epsilon_{{2}}}{R_{{2}}}} \)

gdzie podstawiliśmy uprzednio wyliczone wyrażenia na \( I_{3} \) i \( I_{2} \).

Zauważmy, że możemy dobrać elementy obwodu tak, aby

(10)

\( {\frac{\epsilon_{{1}}}{\left(\frac{1}{R_{{1}}}+\frac{1}{R_{{2}}}\right)}=\frac{\epsilon_{{2}}}{R_{{2}}}} \)

Wtedy prąd \( I_{1} \) = 0 i źródło \( \epsilon_{1} \) nie daje żadnego prądu (praktycznie nie wyczerpuje się). Opornik \( R_{1} \) ma więc napięcie określone przez \( \epsilon_{1} \), ale prąd pobiera z \( \epsilon _{2} \). Taki układ ma ważne zastosowanie praktyczne. Napięcie \( \epsilon_{1} \) może być ogniwem wzorcowym (zapewniając bardzo dokładne napięcie na \( R_{1} \)), a odbiornik \( R_{1} \) może pobierać duży prąd (głównie z \( \epsilon _{2} \)).

Zadanie 1: Zastosowanie praw Kirchhoffa

Treść zadania:

Spróbuj teraz samodzielnie znaleźć prądy \( I_{1} \), \( I_{2} \) oraz \( I_{3} \) płynące w obwodzie pokazanym na Rys. 2. Przyjmij umowne kierunki obchodzenia obwodów (oczek) takie jak zaznaczone strzałkami (zgodnie z ruchem wskazówek zegara). Podaj wartości prądów przyjmując \( \epsilon_{1} \) = 3 V, \( \epsilon_{2} \) = 1.5 V, \( R_{1} \) = 1 \( \Omega \) oraz \( R_{2} \) = 2 \( \Omega \). Czy rzeczywiste kierunki prądów są zgodne z założonymi?

\( I_{1} \) =
\( I_{2} \) =
\( I_{3} \) =